Question

如图,在三角形ABC中,AG垂直BC于点G,分别以AB、AC为一边向三角形ABC外作矩形ABME和

矩形ACNF,射线GA交EF于点H，若AB=k乘AE,AC=k乘AF,试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由。（急！！！！）
没有图，见谅！

Answer 1

解：HE=HF．
理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．
∵四边形ABME是矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°．AG⊥BC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP．
∵∠AGB=∠EPA=90°，
∴△ABG∽△EAP，
∴AG：EP=AB：EA．
同理△ACG∽△FAQ，
∴AG：FP=AC：FA．
∵AB=k•AE，AC=k•AF，
∴AB：EA=AC：FA=k，
∴AG：EP=AG：FP．
∴EP=FP．
∵∠EHP=∠FHQ，
∴Rt△EPH≌Rt△FQH．
∴HE=HF． 给钱钱吧，祝你好好学习哦

Answer 2

图自己作：由图可得∠EAH=∠ABC ∠FAH = ∠ACB
余弦定理：
△AEH中
HE^2 = AE^2 + AH^2 - 2AE*AH*cos∠EAH
= AE^2 + AH^2 - 2AE*AH*BG/AB
= AE^2 + AH ^2 - 2AH*BG/k
△AFH中
HF^2 = AF^2 + AH^2 - 2AF*AH*cos∠FAH
= AF^2 + AH^2 - 2AF*AH*GC/AC
= AF^2 + AH^2 - 2AH*GC/k
HE^2 - HF^2 = AE^2 - AF^2 - 2AH*(BG-GC)/k
= (AB^2 - AC^2)/k^2 - 2AH*(BG-GC)/k
=(BG - GC)(BC-2AH*k)/k^2
(BC-2AH*k)=0

所以HE=HF

Answer 3

解：HE=HF．理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°．AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP．∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴AG：EP=AB：EA．同理△ACG∽△FAQ，∴AG：FP=AC：FA．∵AB=k•AE，AC=k•AF，∴AB：EA=AC：FA=k，∴AG：EP=AG：FP．∴EP=FP．∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH．∴HE=HF．

Answer 4

解：HE=HF．
理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．
∵四边形ABME是矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°．AG⊥BC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP．
∵∠AGB=∠EPA=90°，
∴△ABG∽△EAP，
∴AG：EP=AB：EA．
同理△ACG∽△FAQ
∵AB:AE=AC;AF
∴AG:EP=AG;QF
∴EH=QF
∴△EPH=△PQH
△EP=FQ