Question

已知,如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,CE,CF与对角线BD分别交于点G，H

1,求证：DH=HG=BG
2,如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴DHHB=DFAB=DFCD=1/2．
∴DH=1/3BD．
同理：BG=1/3BD．
∴DH=HG=GB=1/3BD．

（2）连接EF，交BD于点O．
∵AB∥CD，AB=CD，点E、F分别是AB、CD的中点，
∴FO/EO=OD/BO=DF/BE=（1/2CD）/(1/2AB）=1．
∴FO=EO，DO=BO．
∵DH=GB，
∴OH=OG．
∴四边形EGFH是平行四边形
∵点E、O分别是AB、BD的中点，
∴OE∥AD．
∵AD⊥BD，∴EF⊥GH．
∴▱HEGF是菱形．