Question

已知椭圆X^2+2Y^2＝2。直线过圆外一点（0、2）并交椭圆于A、B两点。求弦AB中点P的轨迹。

Answer 1

解：因为AB直线过点（0，2），所以可设AB的直线方程：y=kx+2，代入椭圆X^2+2Y^2＝2
得：(2k²+1)x²+8kx+6=0
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由韦达定理有
x1+x2= -8k/(2k²+1)
y1+y2=k(x1+x2)+4=8k^2/(2k^2+1)+4
设AB中点P坐标是（x,y)
那么有x=(x1+x2)/2=-4k/(2k^2+1),①
y=(y1+y2)/2=-4k^2/(2k^2+1)+2=2/(2k^2+1)②
①÷②得：x/y=-2k,即k=-x/(2y)③
把③式代入②得P的轨迹方程为：x^2+2y^2-4y=0

Answer 2

解：因为直线L过点（0，2），所以可设L：y=kx+2，与椭圆方程联立消x得
(2k²+1)x²+8kx+6=0
△=(8k)²-4*(2k²+1)*6>0，解得k²>3/2
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由韦达定理有
x1+x2= 8k/(2k²+1)
x1x2=6/(2k²+1)
y1+y2=k(x1+x2)+4=8k^2/(2k^2+1)+4
设AB中点P坐标是（x,y)
那么有x=(x1+x2)/2=4k/(2k^2+1),y=(y1+y2)/2=4k^2/(2k^2+1)+2
消去K后即得到P的轨迹方程。 是x^2+2y^2-12y+16=0