Question

在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），证明：

EG=CG且EG⊥CG。 请问第二幅图这种情况怎么证垂直？

Answer 1

图？

追问

有图的啊

追答

连接AG，做GH平行于AD
三角形ADG全等于三角形DGC
所以GC=AG
因为G为中点
所以GH为中位线
又因为GH垂直于AB
所以AG=EG=GC
垂直是：
延长EF交GC于M点
由全等，平行内错角可得
角DCG=DAG=GAE 角GME=GCB
又因为角GCB+GCD=90度
所以角GEM+GME=90度
可知垂直

追问

怎么证撒！题目是探究他俩的关系，是有垂直的

追答

第一个图已证好，第二个有点问题，E不是在AB上么，怎么变成BC了？
做GH垂直于BC交点为H
因为G点为中点
所以GH为中位线
所以2GH=EF+CD=EB+AC=CE
又因为H是中点
所以三角形EGC为直角三角形（直角三角形性质）

Answer 2

证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
由图（3）可知，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠EBF=45°，
又∵EF⊥AB，
∴△BEF为等腰直角三角形
∴BE=EF，
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，FG=DG，
∴MG=1 2 FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
∴∠F=45°．
又∵FG=DG，
∠CMG=1 2 ∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∴△GFE≌△GMC．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC． （2分）
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG． （2分）

Answer 3

证明：图2中，作GH⊥BC，
则EF∥GH∥CD，
又∵G是DF的中点，
∴EH=CH，
则GH是BC的中垂线，
∴GE=CG，
∵EF=EB，BC=CD
∴EF+CD=EC，
∵G是DF的中点，EH=CH，
则GH=1/2（EF+CD），
∴GH=1/2EC，
∴△EGC是等腰直角三角形，
∴EG=CG，且EG⊥CG；