Question

已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x1,x2满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2,当x>0时,有f(x)>-2,求证

f(x）在（负无穷，正无穷）上是增函数
2.已知函数f(x)=ax-1/ax+1(a>1). (1) 判断函数f(x)的奇偶性； （2）求 f(x)的值域.

Answer 1

证: f(1+0)=f(1)+f(0)
所以f(0)=0,
令X2>X1>0，
、 则X2-X1=k（k>0)
所以f(X2)=f(X1+k）=f(X1)+f(k)
即f(X2)-f(X1)>0
f(X0在X>0范围内单调递增
当X<0时，
令X1<X2<0
同理可证，f(X1)<f(X2)
综上，f(X)在R上单调派递增

Answer 2

提示：
可以参考下面这个题目的解答过程
定义在R上的函数f(x),对于任意的x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x＞0时f(x)＜0,f(1)=-2
（1）判断f(x)的奇偶性并证明
（2)判断f(x)的单调性，并求当x∈[-3,3]时f(x)的最大值与最小值。
解:
令x=y=0,则:f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.
令x=x,y=-x,则:f[x+(-x)]=f(x)+f(-x),∵f(0)=0,∴f(x)+f(-x)=0
∴f(-x)=-f(x)∴f(x)的是奇函数.
设x1＜x2,则x2-x1＞0,
∵当x＞0时f(x)＜0
∴f(x2-x1)＜0
∴f[(x2)+(-x1)]＜0
∴f(x2)+f(-x1)＜0,又∵f(x)的是奇函数,f(-x)=-f(x).
∴f(x2)-f(x1)＜0,即:x1＜x2且f(x2)＜f(x1)
∴f(x)的是减函数.
当x∈[-3,3]时f(3)≤f(x)≤f(-3)
f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)
又∵f(1)=-2∴f(3)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6,
∵f(3)≤f(x)≤f(-3)即:-6≤f(x)≤6.
∴当x∈[-3,3]时f(x)的最大值与最小值分别是6与-6。