Question

在1,2,3……,2010这2010个整数中能表示成[x[x]]形式的整数有几个

[x] 表示不大于x的最大整数

Answer 1

显然 1到2010中的完全平方数总可以表示成其算术平方根X的 [X [X]]。

对于不是完全平方数的数，假设有形式为A.B的数
[ A.B * [ A.B]] = [A.B * A ] 必小于 (A+1) * A

因此推得
完全平方数P² ，到 P(P-1) - 1 的整数，都能表示成此形式。

√2010 ≈ 44.8

即1到2010中，
1到1*2-1，4到2*3-1，9到3*4-1 …… 44*44到44*45-1
一共有数字共
(1*2 - 1 - 1² + 1) + (2*3 -1 - 2² + 1) + (3*4 -1 - 3² + 1)…… + (44*45 - 1 - 44² + 1)
= 1*(2-1) + 2*(3-2) + 3(4-3) + …… + 44*(45-44)
= 1+2+3+……+44
= (1+44)*44/2
= 990 个