Question

数学问题：已知奇函数F(X)的定义域为全体实数，且当X≥0时，F(x)单调增，问是否存在这样的实数K，

使得F(COSβ-3)+F(4K-2KCOSβ）＞F（0）对所有的β属于[0,二分之π（圆周率）]均成立？若存在，则求出所有适合条件的实数K;若不存在，试说明理由。

Answer 1

解：F(x)为奇函数，故有F(0)=0.
对β属于[0,π/2],F(COSβ-3)+F(4K-2KCOSβ）＞F（0）恒成立
<=>对cosβ属于[0,1],F(4K-2KCOSβ)>-F(COSβ-3)=F(3-cosβ)恒成立；
<=>对cosβ属于[0,1],4k-2kcosβ>3-cosβ恒成立；
<=>对cosβ属于[0,1],k>(3-cosβ)/(4-2cosβ)恒成立；
即，k>[(3-cosβ)/(4-2cosβ)]max
而，令y=(3-cosβ)/(4-2cosβ)=[1/(4-2cosβ) +1/2],cosβ属于[0,1],
有图像，易得ymax=1;
故，k>1

Answer 2

由题意得：
F（0） = 0 , F(-X) = - F（X)
又X≥0时，F(x)单调增
∴4k - 2kcosb - 3 + cosb>0
cosb < (4k - 3) / (2k + 1)
0<=(4k - 3) / (2k + 1) <=1
解得：3/4<=k<=2

Answer 3

因为f(x)是奇函数，F（0）=0
当X≥0时，F(x)单调增
所以：COSβ-3+4K-2KCOSβ>0
COSβ*;(1-2k)>3-4k
分类后可得k>1