Question

如图，在平面直角坐标系中,o是坐标原点,点A的坐标是(0,4),点B的坐标是(t,0)（t>0）,以OB为边在X轴的下方作

一个等边三角形OBC，记点C关于X轴的对称点为D，连接AC,AD,CD.
（1）直接写出C的坐标：（用含t的代数式表示）
（2）当∠ACB=45°时，求直线AB的解析式：
（3）当△ACD是直角三角形时，求t的值：
（4）是否存在某一时刻，使线段AD的长度最短，如果存在，请直接写出B点的坐标，如果不存在，说明理由。

Answer 1

1、设OB中点为M，M（t/2,0),
|CM|=√3|OM|=√3t/2,
C(t/2,-√3t/2),
2、设AC交X轴于N，〈ACB=45°，
〈NBC=60°，
〈ONA=〈CNB=180°-60°-45°=75°，
〈OAN=90°-75°-15°，
〈OCA=60°-45°=15°，
∴|OC|=|OA|=4，
|OB|=|OC|=4，
△AOB是等腰RT△，
用待定系数法可求出，
直线AB的解析式：y=-x+4,
3、若〈ADC=90°，
则|CD|=8，|CM|=4，
|OM|=4/√3=4√3/3，
|OB|=8√3/3，
∴t=8√3/3,
若<DAC=90°，
AM是斜边CD的中线，|AM|=|CD|/2，
|OM|=t/2,|AM|=√（4^2+t^2/4),
|CM|=√3t/2,|CD|=√3t,
|AM|=√3t/2,
t=4√2，
而〈ACD不可能为90度。
4、C（t/2,-√3t/2),D(t/2,√3t/2),
根据两点距离公式，
|AD|=√[t^2/4+3t^2/4-4√3t+16)
= √[（t-2√3）^2+4],
当t=2√3时，|AD|=2，
∴当B（2√3，0）时，AD最短为2。