Question

已知函数f(X)=ax^4lnx+bx^4-c (X>0)在x=1处取得最值-3-c.其中a.b.c 为常数

求(1)确定a.b的值
(2)讨论函数f(X)的单调性
(3)若对任意x>0,不等式f(X) ≥-2c^2恒成立,求c的取值范围

Answer 1

1
f'(x)=4ax^3lnx+ax^3+4bx^3
∵f(X)在 x=1处取得最值-3-c
∴f'(1)=a+4b=0
f(1)=b-c=-3-c
解得：b=-3,a=12
2
f'(x)=48x^3lnx (x>0)
f'(x)>0即 lnx>0解得x>1
f'(x)<0,即lnx<0解得0<x<1
∴f(x)递增区间为（1,+∞)
递减区间为（0,1）

3若 f(X) ≥-2c^2 恒成立只需 f(x)min≥-2c^2
由2知，f(x)min=f(1)=-3-c
∴-3-c≥-2c^2, 2c^2-c-3≥0
解得：c≤-1,或c≥3/2
∴符合条件c的取值范围是c≤-1,或c≥3/2

Answer 2

(x)=4ax^3lnx+ax^3+4bx^3
∵f(X)在 x=1处取得最值-3-c
∴f'(1)=a+4b=0
f(1)=b-c=-3-c
解得：b=-3,a=12
2
f'(x)=48x^3lnx (x>0)
f'(x)>0即 lnx>0解得x>1
f'(x)<0,即lnx<0解得0<x<1
∴f(x)递增区间为（1,+∞)
递减区间为（0,1