Question

三角形ABC中，角A B C 对应的边 a b c ，且sin ²A-sin ²B +sin ²C=﹙sinAsinC﹚/2，

三角形ABC中，角A B C 对应的边 a b c ，且sin ²A －sin ²B ＋sin ²C=﹙sinAsinC﹚/2，（1）求sin ²（A/2＋C/2）＋cos2B,，
（2）如果b=2,求三角形面积的最大值

Answer 1

根据正弦定理有sinA/a=sinB/b=sinC/c=k
所以 sin ²A-sin ²B +sin ²C=﹙sinAsinC﹚/2
= k^2*a^2-k^2*b^2+k^2*c^2=k^2*ac/2
=a^2-b^2+c^2=1/2*ac
因为根据余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 得 cosB=1/4
sin^2(A/2+C/2)+cos2B
=cos^2(B/2)+cos2B
=(1+cosB)/2+2cos^2(B)-1
=5/8+1/8-1=-1/4
(2)a^2-b^2+c^2=1/2*ac
因为 1/2(a+c)>=根号ac
所以三角形面积的最大时，4ac=(a+c)^2
a^2+c^2-1/2*ac=b^2=4
(a+c)^2-5/2*ac=4
4ac-5/2*ac=3/2*ac=4
因为S=1/2*acsinB=1/2*(4/3)*sinB=2/3*sinB
sin^2B=1-cos^2B=1-1/16=15/16
S=2/3*根号（15/16)