Question

如图,△ABC,P是△ABC内一点,则( )

如图,△ABC,P是△ABC内一点,则( )⑴PA+PB+PC＞AB+AC⑵PA+PB+PC＜AB+AC⑶PA+PB+PC＝AB+AC⑷以上都不对

Answer 1

您没有给图，我不知道p点落在哪里，也不知道三角形是不是特殊三角形，我只好按一般的三角形，且p点为三角形内任意一点作答了。若按一般的思路，则选D。

在△ABP中，AB＜AP+BP
在△ACP中，AC＜AP+PC
∴AB+AC＜2AP+BP+PC
而BC＜BP+CP
∴AB+AC+BC＜2（AP+CP+BP）恒成立
这样便转化为求 周长的一半与（AB+AC）的关系
可用做差法研究他们的关系
1/2（AB+BC+AC）-（AB+AC）=1/2【BC-（AB+AC）】
∴若BC＞AB+BC，则周长的一半＞AB+BC，即AB+BC＜AP+BP+CP
若BC＜AB+BC，那么又要分情况讨论了。

由此可知，AB+AC与AP+BP+CP的关系不能确定，实际上选项中前三种情况都有可能出现
（当P与A点重合时，PA+PB+PC＝AB+AC）
所以选D

若此题是：
在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内一点，P点不与顶点重合，则（）
A：PA+PB+PC<AB+AC B.PA+PB+PC=AB+AC C: PA+PB+PC>AB+AC
则选C

解：把△APC绕A逆时针旋转60°得到△AP′C′，如图，
∴∠CAC′=∠PAP′=60°，AC=AC′，AP=AP′，PC=P′C，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′=AP，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAC′=120°+60°=180°，
即B，A，C′共线，
∴BC′＜BP+PP′+P′C，
即AB+AC＜AP+BP+CP．
故选c．