Question

已知函数f(x)=mx^3+2nx^2 -12x的减区间是（-2,2）. 问：过点（1，t）是否存在与曲线y=f(x)相切的3条切线，

若存在求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由。
（请教老师指导一下）

Answer 1

f(x)=mx^3+2nx^2 -12x
f'(x)=3mx^2+4nx -12=x^2+(4n/3m)x -12/(3m) (若m=0，则函数成为二次函数，减区间不可能是(-2,2),所以m不等于0)
原函数减区间是（-2,2），即导函数的两个根为-2，2，
则-2+2=4n，-2*2=-12/(3m) ，得到m=1，n=0
f(x)=x^3 -12x，f'(x)=3x^2 -12
假设过点（1，t）存在与曲线y=f(x)相切的3条切线
则3x^2 -12=(x^3 -12x-t)/(x-1),得到2x^3-3x^2 -24x+12-t=0
令g(x)=2x^3-3x^2 -24x+12-t,即该函数与x轴有3个交点。
g‘(x)=6x^2-6x -24，二次函数两个根为(1-17^0.5)/2(g(x)极大值)、(1+17^0.5)/2(g(x)极小值)
g(x)函数在负无穷到(1-17^0.5)/2和(1+17^0.5)/2到正无穷为单调递增函数，在(1-17^0.5)/2到(1+17^0.5)/2区间上为单调递减函数。
令g((1-17^0.5)/2)>0且g((1+17^0.5)/2)<0得到(17*17^0.5-11)/2<t<(17*17^0.5-11)/2
在(17*17^0.5-11)/2<t<(17*17^0.5-11)/2区间内，g(负无穷)<0,g((1-17^0.5)/2)>0,g((1+17^0.5)/2)<0,g(正无穷)>0,所以函数在负无穷到(1-17^0.5)/2),(1-17^0.5)/2到(1+17^0.5)/2,(1+17^0.5)/2到正无穷这三个区间上与x轴必有一个交点，即共有3个交点，过点（1，t）存在与曲线y=f(x)相切的3条切线。
t取其他数值时，切线条数不为3.
过点（1，t）存在与曲线y=f(x)相切的3条切线，t取值范围为(17*17^0.5-11)/2<t<(17*17^0.5-11)/2