Question

f(x)=(a/x+√x)^9(a∈R)对f(x)定义域内任意的x值都有f(x)≥27恒成立,求a的值

Answer 1

(a/x+√x)^9≥27 a/x+√x≥3^1/3
a≥3^1/3 *x - x^3/2 在（0，+∞）上恒成立
a≥（3^1/3 *x - x^3/2 ）的最大值 其中x∈（0，+∞）
令h(x)=3^1/3 *x - x^3/2 由h'(x)=3^1/3 - 3/2*x^1/2=0
得 极值点x=(4/3)*3^(-1/3) h(x)在极值点处取极大值（在此题中极大值=最大值）
∴（3^1/3 *x - x^3/2 ）的最大值=4/9
即：a≥4/9