Question

设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=a,a(n+1)=Sn+3^n (1)设bn=Sn-3^n，求数列{bn}的通项公式；

（2）若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围。

Answer 1

S(n) + 3^n = A(n+1) = S(n+1) - S(n),
2S(n) + 3^n = S(n+1),
S(n+1) - 3^(n+1) = 2[S(n) - 3^n],
{B(n)=S(n)-3^n}是首项为B(1)=S(1)-3=A(1)-3=a-3,公比为2的等比数列。
B(n)=(a-3)2^(n-1), n = 1,2,...
2
a(n+1)=Sn+3^n=bn+2*3^n
a(n+1)-an
=bn+2*3^n-[b(n-1)+2*3^(n-1)]
=bn-b(n-1)+2[3^n-3^(n-1)]
=(a-3)*[2^(n-1)-2^(n-2)]+2[3^n-3^(n-1)]
=(a-3)*2^(n-2)+4*3^(n-1)>=0
a-3>=-4*3^(n-1)/2^(n-2)
=-12*(3/2)^(n-2)

a>=3-12*(3/2)^(n-2)
因为(3/2)^(n-2)最小=(3/2)^(1-2)=2/3
3-12*(3/2)^(n-2)最大=3-12*2/3=-5
a>=-5

追问

（2）若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围。