Question

椭圆有两顶点A(-1,0)B(1,0)过其焦点F(0,1)的直线L与椭圆交于C，D。直线AC、BD交于点Q

当点P异于A、B两点时求证向量OP点乘向量OQ为定值
L与X轴交于点Q

Answer 1

证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符，
设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x1，y1），D（x2，y2），

∴P点的坐标为（-1k，0），
由（Ⅰ）知x1+x2=-2kk2+2，x1•x2=-1k2+2，
且直线AC的方程为y=y1x1+1(x+1)，且直线BD的方程为y=y2x2-1(x-1)，
将两直线联立，消去y得x+1x-1=y2(x1+1)y1(x2-1)，
∵-1＜x1，x2＜1，∴x+1x-1与y2y1异号，
(x+1x-1)2=y22(x1+1)2y12(x2-1)2=2-2x222-2x12•(x1+1)2(x2-1)2=(1+x1)(1+x2)(1-x1)(1-x2)
=1-2kk2+2-1k2+21+2kk2+2-1k2+2=(k-1k+1)2，
y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1=k2(-1k2+2)+k(-2kk2+2)+1=-2(1+k)2k2+2k-1k+1，
∴k-1k+1与y1y2异号，x+1x-1与k-1k+1同号，
∴x+1x-1=k-1k+1，解得x=-k，
故Q点坐标为（-k，y0），
OP→•OQ→=（-1k，0）•（-k，y0）=1，
故OP→•OQ→为定值．

Answer 2

晕，坑爹的倒数第二问，想做也没精力做啊。

Answer 3

你好！
晕，坑爹的倒数第二问，想做也没精力做啊。
我的回答你还满意吗~~