Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为

A．1 B．2 C．3 D．4

我知道答案是D，但什么时候△AEF的周长最小，不明白的是这个，怎么判断？？？

Answer 1

解：作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，

∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，

∴BE=CE=CE′=4，

∵AB⊥BC，CD⊥BC，

∴CE′判并：BE′=CF：AB，即余冲碧4：8+4=CF：6，解竖举得CF=2，

∴DF=CD-CF=6-2=4．

故选D．

Answer 2

设CF=X
EF²=CF²+CE²=X²+16
AF²=AD²+DF²=64+(6-X)²
因为要使△AEF的羡闷周长最小， 则AF+EF要最小
因此EF²+AF²也要最小
所以：EF²+AF²=X²+16+64+(6-X)²=2X²-12X+118=2X²-12X+18+100
=2（X²-6X+9)+100=2(X-3)²+100
从上得出 当X=3时伍裂，兄橘弯EF²+AF²有最小值，
因此当X=3时，△AEF的周长最小

Answer 3

以CD为敬圆余对称轴，作E点的对称点E‘，连接AE’交CD于F
此时AF+FE'=AF+EF,三角形AEF的腔握周长有最小值
∵E,E'关于CD对称
∴CE=CE‘=4
∵三角形ADE∽三角形亮滚E’CF
∴CF:DF=CE':AD=1:2
∴DF=4