Question

已知cos(α-β/2)=-1/9,sin(α/2-β)=2/3,且/2<α<π,0<β<π/2,求sin(α+β)/2 请给详细过程

Answer 1

sin(α+β)/2=sin((α-β/2)-(α/2-β))=sin(α-β/2)cos(α/2-β)-cos(α-β/2)sin(α/2-β)
=sin(α-β/2)cos(α/2-β)-(-1/9)(2/3)
=sin(α-β/2)cos(α/2-β)+2/27
由于π/2<α<π，0<β<π/2，所以0<β/2<π/4，所以-π/4<－β/2<0，所以π/2-π/4<α－β/2<0+π
即π/4<α－β/2<π，所以sin(α－β/2)=(1-cos(α－β/2)^2)^1/2=4*(5^1/2)/9；
由于π/2<α<π，0<β<π/2，所以π/4<α/2<π/2，-π/2<-β<0，所以π/4-π/2<α/2-β<π/2+0
即－π/4<α/2-β<π/2，所以cos(α/2-β)＝(1-sin(α/2-β)^2)^1/2=(5^1/2)/3
所以sin(α+β)/2=sin(α-β/2)cos(α/2-β)+2/27=(4*(5^1/2)/9)((5^1/2)/3)+2/27=22/27