Question

记数列{an}的前n项和为Sn，若{Sn/an}是公差为d的等差数列，则{an}为等差数列时d=

网上有答案 解释的很详尽 但是

当d≠1时，an-1=（n-1）（1-d）•d′/d，这一步看不懂...想知道是怎么得到的

解：∵{Sn/an}是S1a1=1为首项，d为公差的等差数列，
∴Snan=1+（n-1）d，
∴Sn=an+（n-1）dan，①
Sn-1=an-1+（n-2）dan-1．②
①-②得：
an=an+（n-1）dan-an-1-（n-2）dan-1，
整理可得
（n-1）dan-（n-1）dan-1=（1-d）an-1，
假设d=0，那么Sn/an=1，
S1=a1，S2=a1+a2=a2，
∴a1=0，∵a1为除数，不能为0，∴d≠0．
在此假设an的公差为d′，
所以有d′=(1-d)an-1(n-1)d，
当d=1时，d′=0，an是以a1为首项，0为公差的等差数列．
当d≠1时，an-1=（n-1）（1-d）•d′/d，
an-an-1=（1-d）•d′/d=d′，
∴d=1/2，
此时，an是以d′为首项，d′为公差的等差数列．
综上所述，d=1，或d=1/2．
故答案为：1或1/2．

有一个步骤看不懂 希望大家可以解答下~
当d≠1时，an-1=（n-1）（1-d）•d′/d，
这一步是怎么得到的？麻烦大家了~~~~

Answer 1

解：
∵{Sn/an}是S1/a1=1为首项，d为公差的等差数列，
∴Sn/an=1+(n-1)d，
∴Sn=an+(n-1)dan，①
S(n-1)=a(n-1)+(n-2)da(n-1)．②
①-②得：
an=an+(n-1)dan-a(n-1)-(n-2)da(n-1)，
整理可得
(n-1)dan=(dn-2d+1)a(n-1)
an为等差数列时,不妨设an=a1+(n-1)d'
∴(n-1)dan=(dn-2d+1)a(n-1)变成：
(n-1)d[a1+(n-1)d']=(dn-2d+1)[a1+(n-2)d']
dd'n^2+(da1-2dd')n+dd'-da1=dd'n^2+(a1d-4dd'+d')n-2da1+4dd'+a1-2d'
(2d-1)d'n=(1-d)a1+(3d-2)d'
要使上式恒成立，则
(2d-1)d'=0且(1-d)a1+(3d-2)d'=0
1.当d'=0时，(1-d)a1=0,
若a1=0,则s1/a1不成立，所以a1≠0
所以d=1;
2.当d=1/2时，(1/2)a1-(1/2)d'=0
d'=a1≠0

综上所述d=1或d=1/2。

Answer 2

根据等差数列递增规律
易证得
da2+(d+1)/2d a2=2a2
所以d=1 / 1/2

Answer 3

（n-1）dan-（n-1）dan-1=（1-d）an-1
通过这步，得到an-an-1=d'=(1-d)an-1/(n-1)d
再当d≠1时，an-1=d‘（n-1)d/(1-d)
an-an-1=d'=dd'/(1-d)
因为d’≠0，所以约掉d' 1-d=d d=1/2

Answer 4

上课不听，现在才问