设z1是虚数，z2＝z1＋1/z1是实数，，且－1≤z2≤1. 若W=(1-Z1)/(1+Z1)，求证W是纯虚数
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设Z1=a+bi 则z2=a+bi+1/(a+bi)
∴z2=a+bi+ [(a-bi)/(a²+b²)]
=[a(a²+b²)+a]/(a²+b²)]+[b(a²+b²)-b]i/(a²+b²)
∵z2是实数
∴b(a²+b²)-b=0
又∵Z1是虚数∴b≠0
∴a²+b²=1
W=(1-z1)/(1+z1)=(1-a-bi)(1+a-bi)/[(1+a)²+b²]
=(1-a²-b²-2bi)/(1+a²+b²+2a)
∵a²+b²=1
∴W=-bi/(1+a)为纯虚数
所以，W是纯虚数
∴z2=a+bi+ [(a-bi)/(a²+b²)]
=[a(a²+b²)+a]/(a²+b²)]+[b(a²+b²)-b]i/(a²+b²)
∵z2是实数
∴b(a²+b²)-b=0
又∵Z1是虚数∴b≠0
∴a²+b²=1
W=(1-z1)/(1+z1)=(1-a-bi)(1+a-bi)/[(1+a)²+b²]
=(1-a²-b²-2bi)/(1+a²+b²+2a)
∵a²+b²=1
∴W=-bi/(1+a)为纯虚数
所以，W是纯虚数
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