Question

等腰三角形ABC，AB=AC，BD为AC边上的中线，BD=2，求三角型面积的最大值

答案为8/3，不过只能用正余玄定理

Answer 1

解：设AB=AC=a
BD为AC边上的中线，
所以AD=CD=1/2 AB=a/2
AC边上的高h=AB*sinA=asinA
所以S△ABC=1/2AC*h=1/2 AB²sinA=1/2 a²sinA
在△ABD中，由余弦定理：AB²+AD²-BD²=2AB*ADcosA
即：a²+(a/2)²-2²=2a*(a/2)cosA
5a²/4-4=a²cosA
a²(5/4-cosA)=4
a²=4/(5/4-cosA)
所以S△ABC=1/2 a²sinA=1/2 sinA 4/(5/4-cosA)
=2sinA/(5/4-cosA)
此式只与角A有关，
（上面回答中得出S也正是用的正余弦定理啊，S=2sinA/(5/4-cosA)这个只是一个式子，只与∠A有关的式子，到了这一步，后面要解出来也用不上正余弦定理啊，而且这题10分题，做到这也可以得8分了，至于下面的纯计算，恕我笨，不用下面的方法，我实在算不出来。。。修改添加上来的
）
下面的就只有高三以上学过导数的才能看得懂了：
S=2sinA/(5/4-cosA)
S'=2[cosA(5/4-cosA)-sin²A]/[(5/4-cosA)²]
=2(5/4 cosA-1)/(5/4-cosA)²
令S‘=0
5/4cosA-1=0,(0<5/4-cosA<9/4)
cosA=4/5
在三角形中，当cosA=4/5时，sinA=3/5
所以，当cosA=4/5时，
Smax=2sinA/(5/4-cosA)=8/3

Answer 2

解：作AE⊥BD,AF⊥BD

S=2*AE/2+2*DF/2

   =AE+CF

当AE+CF=AC时即BD⊥AC时AE+CF最大

此时为等边三角形，

所以S=2/√3*2*2/2=4√3/3