Question

已知函数f(x)=2sinx^2+2根号3sinxcosx+1

求f（x）的最小正周期及最值 求f（x）的单调递增区间 求f（x）的对称中心和对称轴 求f（x）在【0，π/2】上的最值
急急急！！

Answer 1

解：1）f(x)=2sinx^2+2√3sinxcosx+1
=1-cos2x+√3sin2x+1
=2sin(2x- π/6）+2
f（x）的最小正周期T=2π/2=π,

fmax=2+2=4，fmin=-2+2=0

将2x-π/6看成整体
当2kπ-π/2≤2x-π/6≤2kπ+π/2，f(x)单调递增
即增区间是[kπ-π/6，kπ+π/3]，（k∈Z）。

对称中心，即为2x-π/6=kπ时的点，
故对称中心（π/12+kπ/2,2),（k∈Z）。
对称轴为2x-π/6=kπ+π/2，即x=kπ/2+π/3 （k∈Z）

∵x∈[0,π/2]
∴2x-π/6∈[-π/6，5π/6]
则当2x-π/6=π/2，即x=π/3时，fmax=2+2=4
当2x-π/6=-π/6，即x=0时，fmin=2*(-1/2)+2=1

Answer 2

f(x)=2sin²x+2根号下3sinxcosx+1
=-cos2x+根号下3sin2x+2
=2sin(2x-π/6)+2
最小正周期=2π÷2=π
单调递增期间：
2kπ-π/2<=2x-π/6<=2kπ+π/2
kπ-π/6<=x<=kπ+π/3
对称中心：2x-π/6=0 x=π/12 所以对称中心为(π/12,0)
x属于[0.π/2]
所以 2x-π/6属于[0,5π/6]
所以 当2x-π/6=π/2时 有最大值=2+2=4