Question

∫根号（x^2-4)dx用换元积分法算出来

令x=2csct,求过程。。。我算到的答案是(x/2)根号（x^2-4）+2ln|x/2-(1/2)根号x^2-4|+C，跟书本答案不同

Answer 1

优先用正割的方法：
令x = 2secz，dx = 2secztanz dz，当x > 2
∫ √(x² - 4) dx
= ∫ √(4sec²z - 4) * 2secztanz dz
= ∫ 2tanz * 2secztanz dz
= 4∫ secz * (sec²z - 1) dz
= 4∫ sec³z dz - 4∫ secz dz
= 4 * 1/2 * (secztanz + ln|secz + tanz|) - 4ln|secz + tanz|
= 2secztanz - 2ln|secz + tanz| + C
= 2(x/2)√(x² - 4)/2 - 2ln|x/2 + √(x² - 4)/2| + C
= (x/2)√(x² - 4) - 2ln|x + √(x² - 4)| + 2ln2 + C
= (x/2)√(x² - 4) - 2ln|x + √(x² - 4) + C''

用余割方法：
令x = 2cscz，dx = - 2csczcotz dz，x > 2
∫ √(x² - 4) dx
= ∫ √(4csc²z - 4) * -2csczcotz dz
= ∫ 2cotz * -2csczcotz dz
= - 4∫ cscz * (csc²z - 1) dz
= 4∫ cscz dz - 4∫ csc³z dz
= - 4ln|cscz + cotz| - 4 * -1/2 * (csczcotz + ln|cscz + cotz|) + C
= -2ln|cscz + cotz| + 2csczcotz + C
= 2(x/2)√(x² - 4)/2 - 2ln|x/2 + √(x² - 4)/2| + C
= (x/2)√(x² - 4) - 2ln|x + √(x² - 4)| + C'''

追问

那个-2ln|x/2+1/2根号（x^2-4）是怎么变成-2ln|x+根号（x^2-4)的？

追答

对数公式ln(A/B) = lnA - lnB
-2ln|x/2 + √(x² - 4)/2| + C
= -2ln|[x + √(x² - 4)]/2| + C
= -2[ ln|x + √(x² - 4)| - ln2 ] + C
= -2ln|x + √(x² - 4)| + 2ln2 + C
= -2ln|x + √(x² - 4)| + C''，C'' = C + 2ln2，常数可以组起来

追问

最后一个问题
4∫ cscz dz - 4∫ csc³z dz= - 4ln|cscz + cotz| - 4 * -1/2 * (csczcotz + ln|cscz + cotz|) + C这一步是怎么变的？书本的公式是∫cscxdx=ln|secx-cotx|+c,而我用分部积分法算出∫csc^3zdz=-csczdz*cotz-∫csc^3zdz+∫csczdz，两者结合，原式=2cscz*根号（csc^2-1)+2∫csczdz，请告诉我哪里出错了？

追答

书里的公式应该是∫ cscx dx = ln|cscx - cotx| + C
也可以是∫ cscx dx = - ln|cscx + cotx| + C
∫ csc³z dx = ∫ cscz d(-cotz)
= -[csczcotz - ∫ cotz dcscz]
= -csczcotz + ∫ cotz * -csczcotz dz
= -csczcotz - ∫ cscz * (csc²z - 1) dz
= -csczcotz - ∫ csc³z dz + ∫ cscz dz
2∫ csc³z dz = - csczcotz - ln|cscz + cotz|
∫ csc³z dz = - (1/2)csczcotz - (1/2)ln|cscz + cotz| + C
= - (1/2)cscz√(csc²z - 1) - (1/2)ln|cscz + √(csc²z - 1)| + C，若x = 2cscz ==> cscz = x/2
= - (1/2)(x/2)√(x²/4 - 1) - (1/2)ln|x/2 + √(x²/4 - 1)| + C
= - (1/2)(x/2)√(x² - 4)/2 - (1/2)ln|x/2 + √(x² - 4)/2| + C
= - (1/2)(x/2)√(x² - 4)/2 - (1/2)ln|x + √(x² - 4)| + C''，你核对一下

Answer 2

∫√(x^2-4)dx
x=2csct=2/sint dx=-2cost/sint^2
=∫2cotx*(-2cotxcscx)dx
=4∫(-cotx)^2cscxdx
=4∫(1-cscx^2)cscxdx
=4∫cscxdx+4∫cscxdcotx
=4∫cscxdx+4cscxcotx-4∫cotx*(-cscxcotx)
=4∫cscxdx+4cscxcotx+4∫(cotx)^2 cscxdx

-8∫(cotx)^2cscxdx=4∫cscxdx+4cscxcotx
-4∫(cotx)^2cscxdx=2∫dx/sinx+2cscxcotx=-2∫dcosx/(1-cosx)(1+cosx)+2cscxcotx
=-ln|1+cosx|/|1-cosx|+2cscxcotx
=ln|1-cosx|/|1+cosx|+2cscxcotx
=2ln|1-cosx|/|sinx|+2cscxcotx =-2ln|1+cosx|/|sinx|+2cscxcotx
=2ln|cscx-cotx| +2cscxcotx =-2ln|cscx+cotx|+2cscxcotx
=2ln|x/2-√(x^2/4-1)|+(1/2)x√(x^2-4)+C =-2ln|x/2+√(x^2/4-1)|+(1/2)x√(x^2-4)+C