Question

把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF

把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0<t<4.5).
1.当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
2连接PE，设四边形APEC的面积为y，求y与t之间的函数关系式，是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值
3.是否存在某一时刻t，使PQF三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的 值
（图中P的箭头应向上）

Answer 1

解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP=AQ；
∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，
∴∠EQC=45°；
∴∠DEF=∠EQC；
∴CE=CQ；
由题意知：CE=t，BP=2t，
∴CQ=t；
∴AQ=8-t；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm；
则AP=10-2t；
∴10-2t=8-t；
解得：t=2；
答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；（4分） （2）过P作PM⊥BE，交BE于M，

∴∠BMP=90°
　　在Rt△ABC和Rt△BPM中，，
　　∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.
　　

　　∴当t = 3时，y最小=84/5

　　答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为84/5cm2
　　（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.
　　过P作，交AC于N，
　　

∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，
　　∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.
　　∵∠FQC = ∠PQN，
　　∴△QCF∽△QNP .
　　

解得：t = 1.
　　答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上.

Answer 2

解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP=AQ；
∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，
∴∠EQC=45°；
∴∠DEF=∠EQC；
∴CE=CQ；
由题意知：CE=t，BP=2t，
∴CQ=t；
∴AQ=8-t；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm；
则AP=10-2t；
∴10-2t=8-t；
解得：t=2；
答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；（4分） （2）过P作PM⊥BE，交BE于M，

∴∠BMP=90°
　　在Rt△ABC和Rt△BPM中，，
　　∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.
　　

　　∴当t = 3时，y最小=84/5

　　答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为84/5cm2
　　（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.
　　过P作，交AC于N，
　　

∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，
　　∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.
　　∵∠FQC = ∠PQN，
　　∴△QCF∽△QNP .
　　答：当t = 1s，点P、Q、F三点一线