Question

1/((n^2-1)2^n)级数的和

级数（n从2到无穷）1/((n^2-1)2^n)=0.5级数1/(（n-1)2^n)-0.5级数1/(（n+1)2^n)=0.25ln2-ln2+1/2+1/8,这里答案的1/2+1/8是怎么来的？

Answer 1

f(x)=求和（n＝1到无穷）x^n/n，f'(x)=求和（n＝1到无穷）x^(n－1)=1/(1－x)，
因此f(x)=－ln(1－x)。
求和（n＝1到无穷）1/(n*2^n)＝f(1/2)=ln2，
因此求和（n＝2到无穷）1/((n+1)*2^n)=2求和（n＝2到无穷）1/【(n+1)*2^(n+1)】
＝2（求和（n＝1到无穷）1/【n*2^n】－1/(1*2^1)－1/(2*2^2)）
=2(ln2－1/2－1/8)＝2ln2－5/4。
求和（n＝2到无穷）1/((n－1)*2^n)=求和（n＝1到无穷）1/【n*2^(n+1)】
＝0.5（求和（n＝1到无穷）1/【n*2^n】）
=0.5ln2

追问

这个当时没学好，为什么求和（n＝1到无穷）x^(n－1)=1/(1－x)，不是求和（n＝1到无穷）x^n=1/(1－x)吗，像比如说求和（n＝1到无穷）（-1）^(n-1)x^(2n-2)=1/1+x^2怎么来的？

追答

第一个是1+x+x^2+....＝1/(1－x）
第二个是x+x^2+x^3+....=x/(1－x)。
两个都是等比级数