Question

在二阶的常系数非齐次线性微分方程y''+py'+qy=f(x)中，记特征方程为λ^2+pλ+...

在二阶的常系数非齐次线性微分方程y''+py'+qy=f(x)中，记特征方程为λ^2+pλ+q=0
若f(x)=Pn(x)*e^(λx),则特解为y*=x^k*Qn(x)*e^(λx)
若f(x)=(A*cosβx+B*sinβx)*e(αx),则特解为y*=x^k*(a1*cosβx+a2*sinβx)*e^(αx)
其中k是特征根λ的重数

现在我的问题是这个重数到底改怎么确定。
我的理解是f(x)中的λ若不是特征方程的解，则k取0;若是特征方程的解，则当delta＞0时k取1，当delta=0时k取1。(也既看f(x)中的λ占了几个特征根)
按照这样的理解，我发现是符合第一种形式的f(x)的，但是第二种就让我头疼了。

在第二种形式下，特征根要求是α±β*i的形式，也就是说原式的特征方程需满足delta＜0。
比如原式的特征方程为λ^2+4=0，解为λ=±2*i ;
若f(x)=2*cos2x ，则对应的α为0，β为2，而0±2*i正好是原特征方程的根。安找我的理解，f(x)中的λ占了特征方程的两个根，固k应该取2，但相关的题中都是取1。这让为我不能理解。

希望我把我的问题表达清楚了，望高手详细讲解，不胜感激!

Answer 1

你对“安找我的理解，f(x)中的λ占了特征方程的两个根，固k应该取2，但相关的题中都是取1。”的疑问其实很简单因为“λ^2+4=0，解为λ=±2*i”都是一重根；
如果你不是数学专业的，那我觉得你的学习态度相当难得，努力吧，你会学的很好的。
更详细的我建议你去看一看用特征方程求解常系数非齐次线性微分方程的计算过程（也就是该方法的证明，建议从复函数角度理解）

Answer 2

呵呵，好好看看高数书就知道了