Question

△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，向量m=(a，cosB)，向量n=(b，cosA)...

△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，向量m=(a，cosB)，向量n=(b，cosA)，且向量m／／向量n，向量m≠向量n。求sinA+sinB的取值范围

Answer 1

(a,cosB)=t(b,cosA） a=tb cosb=tcosa
所以a/b=cosb/cosa a/sina=b/sib=c/sinc=2r代入
sina/sinb=cosb/cosa sinacosa=sinbcosb即1/2sin2a=1/2sin2b
所以2a=2b a=b（因为m不等于n所以a不等于b所以舍去） 180-2a=2b a+b=90
故c=90 b=90-a 所以sinb=cosa
sina+sinb=sina+cosa=根号2*sin(a+45)
a=45最大为根号2 a=0时最小为1取不到
故1<sinA+sinB<=根号2

向量m‖n, ∴cosB/a=cosA/b。代入正弦定理得cosB/sinA=cosA/sinB
即sinBcosB=sinAcosA===>sin2A-sin2B=0
即2sin(A-B)cos(A+B)=0
若sin(A-B)=0则sinAcosB=cosAsinB===>cotA=cotB, ∴A=B，与m≠n矛盾
∴只能cos(A+B)=0===>A+B=90º
∴sinA+sinB=sinA+cosA
首先sinA+cosA>1；其次sinA+cosA=√2*sin(A+45°)≤√2
∴1<sinA+sinB≤√2

Answer 2

a/b=cosB/cosA，sinA/sinB=cosB/cosA，sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，2A=2B+n*pi
A=B+pi*n/2,向量m≠向量n,所以A≠B,n≠0,n=1,-1,n=1时，sinA+sinB=cosB+sinB,后面的自己判断吧，注意取值范围