Question

2011陕西数学中考题25题详解...

Answer 1

解：（1）等腰．

（2）如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形．

∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，

∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A．

∴四边形ABFE为正方形．

∴BF=AB=2，

∴F（2，0）．

（3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，

理由如下：①当F在边BC上时，如图②所示．

S△BEF≤1 2 S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4．

②当F在边CD上时，如图③所示，

过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K．

∵S△EKF=1 2 KF•AH≤1 2 HF•AH=1 2 S矩形AHFD，

S△BKF=1 2 KF•BH≤1 2 HF•BH=1 2 S矩形BCFH，

∴S△BEF≤1 2 S矩形ABCD=4．

即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4．

下面求面积最大时，点E的坐标．

①当F与点C重合时，如图④所示．

由折叠可知CE=CB=4，

在Rt△CDE中，ED= CE2-CD2 = 42-22 =2 3 ．

∴AE=4-2 3 ．

∴E（4-2 3 ，2）．

②当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示．

此时E（0，2）．

综上所述，折痕△BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E（0，2）或E（4-2 3 ，2）

Answer 2

如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”
（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个　等腰　三角形
（2）如图②、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？

考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质。
专题：数形结合；分类讨论。
分析：（1）由图形结合线段垂直平分线的性质即可解答；
（2）由折叠性质可知，折痕垂直平分BE，求出AB、AE的长，判断出四边形ABFE为正方形，求得F点坐标；
（3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，
①当F在边CD上时，S△BEF≤S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4；
②当F在边CD上时，过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K，再根据三角形的面积公式即可求解；再根据此两种情况利用勾股定理即可求出AE的长，进而求出E点坐标．
解答：解：（1）等腰．
（2）如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形．
∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，
∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A．
∴四边形ABFE为正方形．
∴BF=AB=2，
∴F（2，0）．
（3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，
理由如下：①当F在边BC上时，如图②所示．
S△BEF≤S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4．
②当F在边CD上时，如图③所示，
过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K．
∵S△EKF=KF•AH≤HF•AH=S矩形AHFD，
S△BKF=KF•BH≤HF•BH=S矩形BCFH，
∴S△BEF≤S矩形ABCD=4．
即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4．
下面求面积最大时，点E的坐标．
①当F与点C重合时，如图④所示．
由折叠可知CE=CB=4，
在Rt△CDE中，ED===2．
∴AE=4﹣2．
∴E（4﹣2，2）．
②当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示．
此时E（0，2）．
综上所述，折痕△BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E（0，2）或E（4﹣2，2）．

点评：本题考查的是图形的翻折变换，涉及到矩形及正方形的性质，难度较大，在解答此题时要利用数形结合的思想进行分类讨论．

Answer 3

答案见图片

Answer 4

题目拿出来，看看那。