Question

如何利用二重积分计算由下列曲面z=x^2+y^2,y=1,z=0,y=x^2所围成的立体的体积

Answer 1

解：根据题意分析知，所围成的立体的体积在xy平面上的投影是D：y=1与y=x²围成的区域(自己作图)
故 所围成的立体的体积=∫∫<D>(x²+y²)dxdy
=2∫<0,1>dx∫<x²,1>(x²+y²)dy
=2∫<0,1>(x²+1/3-x^4-x^6/3)dx
=2(x³/3+x/3-x^5/5-x^7/21)│<0,1>
=2(1/3+1/3-1/5-1/21)
=88/105。

Answer 2

解：根据题意分析知，所围成的立体的体积在xy平面上的投影是D：y=1与y=x²围成的区域(自己作图)
故
所围成的立体的体积=∫∫<D>(x²+y²)dxdy
=2∫<0,1>dx∫<x²,1>(x²+y²)dy
=2∫<0,1>(x²+1/3-x^4-x^6/3)dx
=2(x³/3+x/3-x^5/5-x^7/21)│<0,1>
=2(1/3+1/3-1/5-1/21)
=88/105。

Answer 3

解：根据题意分析知，所围成的立体的体积在xy平面上的投影是D：y=1与y=x²围成的区域(自己作图)
故
所围成的立体的体积=∫∫
(x²+y²)dxdy
=2∫<0,1>dx∫
(x²+y²)dy
=2∫<0,1>(x²+1/3-x^4-x^6/3)dx
=2(x³/3+x/3-x^5/5-x^7/21)│<0,1>
=2(1/3+1/3-1/5-1/21)
=88/105。

Answer 4

不是不能，而是如果这样一来在对x积分的时候就要把正负根号y代入，再对y积分的时候会增加计算难度