Question

已知a1=1/2,an+1=an^2/(an^2-an+1),求证:∑an<1

Answer 1

证明
假设an+1=an^2/(an^2-an+1)<=an/2
an^2/(an^2-an+1)<=an/2随便一化简，结果是an^2-2an+1>=0
显然成立
所以对于数列an, an+1<an
所以an<1/2^(n-1)
由于数列1/2 1/4 1/8 ... 1/2^(n-1)之和小于1
所以∑an<1。

授人以鱼不如授人以鱼，以后做这种题的时候不必拘泥于求Sn的方法。

追问

明显错了，第二项就不对

追答

bn=1/2^n
an<bn
∑bn<1
所以∑an<∑bn<1
上面错的地方是an<1/2^(n-1)，改成an<1/2^n就行了。
如果满意请采纳。

追问

第二项1/2不行，应该可以求出一个递推关系的

追答

我的解题思路就是不要通过递推关系求出an的式子，我上面写错了几个地方。
但这道题的解法肯定不是求an解析式的，是通过an和1/2、1/4、1/8的比较求证的。
请楼主亲自算一下an和an+1的关系，一定是an+1<an/2
这类题型多了去了。不满意请继续追问。

追问

我算出来了an=1/（an-1）-1/（an+1-1）然后裂项就可以了，不过还是谢谢