
已知a1=1/2,an+1=an^2/(an^2-an+1),求证:∑an<1
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证明
假设an+1=an^2/(an^2-an+1)<=an/2
an^2/(an^2-an+1)<=an/2随便一化简,结果是an^2-2an+1>=0
显然成立
所以对于数列an, an+1<an
所以an<1/2^(n-1)
由于数列1/2 1/4 1/8 ... 1/2^(n-1)之和小于1
所以∑an<1。
授人以鱼不如授人以鱼,以后做这种题的时候不必拘泥于求Sn的方法。
假设an+1=an^2/(an^2-an+1)<=an/2
an^2/(an^2-an+1)<=an/2随便一化简,结果是an^2-2an+1>=0
显然成立
所以对于数列an, an+1<an
所以an<1/2^(n-1)
由于数列1/2 1/4 1/8 ... 1/2^(n-1)之和小于1
所以∑an<1。
授人以鱼不如授人以鱼,以后做这种题的时候不必拘泥于求Sn的方法。
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追问
明显错了,第二项就不对
追答
bn=1/2^n
an<bn
∑bn<1
所以∑an<∑bn<1
上面错的地方是an<1/2^(n-1),改成an<1/2^n就行了。
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