Question

如何用极限的定义证明极限？（如何用ε-δ语言证明函数的极限？）

Answer 1

证题的步骤基本为：
任意给定ε>0，要使|f(x)-A|<ε，（通过解这个不等式，使不等式变为δ1(ε）<x-x0<δ2(ε）为了方便，可让ε值适当减少），取不等式两端的绝对值较小者为δ(ε），于是
对于任意给定的ε>0,都找到δ>0，使当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε . 即当x趋近于x0时，函数f(x）有极限A
例如证明f（x）=lnx在x趋于e时，有极限1
证明：任意给定ε>0，要使|lnx-1|<ε，只须-ε＜lnx-1＜ε,1-ε＜lnx＜1+ε,e＾(1-ε)＜x＜e＾(1+ε), ∴e＾(1-ε)-e＜x-e＜e＾(1+ε)-e,取δ(ε）=min（e-e＾(1-ε)，e＾(1+ε)-e）min后面两数是不等式两端的值，但左边的是不等式左端的负值要取绝对值，这两正数取较小的为δ，于是对于任意给定的ε>0,都能找到δ>0，使当0<|x-e|<δ时，有|f(x)-1|<ε . 即当x趋近于e时，函数f(x）有极限1
说明一下：1）取0<|x-e|，是不需要考虑点x=e时的函数值，它可以存在也可不存在，可为A也可不为A。 2）用ε-δ语言证明函数的极限较难，通常对综合大学数学等少数专业才要求，我们学习时，老师讲解放前我们（p大）数学专业只要求五分之一的人掌握。

Answer 2

对于任意给定的ε>0,存在δ>0，当0<|x-x0|<δ时，有|f(x0)-A|<ε .证毕
“当0<|x-x0|<δ时” 这句话的意思就是x无限趋近于x0，但不相等，仔细体会下
“|f(x0)-A|<ε” 这句话就是f(x0）无限趋近于A

追问

如果是一个证明题 要根据什么求出δ的值 ？

追答

举个例子：
f(x)=2x 证明极限x在趋近于1时，极限为2
思路：存在δ>0，当00,存在δ=1/2ε，当0<|x-1|<δ时，有|f(x)-2|=|2x-2|=2|x-1|<2δ=ε 证毕