Question

如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一知输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间

Answer 1

如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一知输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏东49°方向，B位于南偏西41°方向．

（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；

（2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°＝0.75）

（1）相等

        由图易知，∠QPB＝65.5°，∠PQB＝49°，∠AQP＝41°，

∴∠PBQ＝180°－65.5°－49°＝65.5°．∴∠PBQ＝∠BPQ．

∴BQ＝PQ

（2）由（1）得，BQ＝PQ＝1200 m．

在Rt△APQ中，AQ＝PQcos∠AQP ＝12000.75 ＝1600（m）．

又∵∠AQB＝∠AQP＋∠PQB＝90°，

∴Rt△AQB中，AB＝AQ2＋BQ2 ＝16002＋12002 ＝2000（m）．

答：A，B间的距离是2000 m．

Answer 2

解：（1）线段BQ与PQ相等．
证明：∵∠PQB=90°-41°=49°，
∠BPQ=90°-24.5°=65.5°，
∴∠PBQ=180°-49°-65.5°=65.5°，
∴∠BPQ=∠PBQ，
∴BQ=PQ；

（2）∠AQB=180°-49°-41°=90°，
∠PQA=90°-49°=41°，
∴AQ=PQcos41°=12000.75=1600，
BQ=PQ=1200，
∴AB2=AQ2+BQ2=16002+12002，
∴AB=2000，
答：A、B的距离为2000m．

Answer 3

是这个图吧

Answer 4

没图！

Answer 5

解：由图易知，

∠QPB＝65.5°，∠PQB＝49°，∠AQP＝41°，

∴∠PBQ＝180°－65.5°－49°＝65.5°．∴∠PBQ＝∠BPQ．

∴BQ＝PQ

（2）由（1）得，BQ＝PQ＝1200 m．

在Rt△APQ中，AQ＝

 

 

＝

＝1600（m）．

又∵∠AQB＝∠AQP＋∠PQB＝90°，

∴Rt△AQB中，AB＝

 

＝

＝2000（m）．

答：A，B间的距离是2000 m．

 

思路分析：

考点解剖：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是通过角的计算得出BQ=PQ，再由直角三角形先求出AQ，根据勾股定理求出AB．

解题思路：根据方位角来计算∠QPB＝65.5°，∠PBQ＝180°－65.5°－49°＝65.5°．根据勾股定理及三角函数值计算出AB的长度.

规律总结：证明线段相等的方法是利用全等三角形或等角对等边.计算线段的长度的方法是利用三角函数或勾股定理.