Question

证明 ：若a>0 ,b>0 a/b^2+b/a^2≥1/a+1/b

Answer 1

a/b^2+b/a^2≥1/a+1/b
两边同乘以a²b²得
a³+b³≥ab²+a²b
即证
（a+b）（a²-ab+b²）≥ab（a+b）
即证
a²-ab+b²≥ab
即证
a²-2ab+b²≥0
而a²-2ab+b²=（a-b）²≥0
所以
得证。

Answer 2

证明;因为a>0.b>0
所以：a-b>=0
(a-b)^2>=0
a^2+b^2-ab>=ab
(a^2+b^2-ab)/ab>=1
((a+b)(a^2+b^2-ab)/(a^2b^2>=(a+b)/ab
(a^3+b^3)/a^2b^2/1/a+1/b
所以：a/b^2+b/a^2>=1/a+1/b

Answer 3

(a/b^2+b/a^2)/(1/a+1/b)
=[(a^3+b^3)/(a^2b^2)]/[(a+b)/(ab)]
=(a^2+b^2-ab)/(ab)
≥(2ab-ab)/(ab)
=1
所以
a/b^2+b/a^2≥1/a+1/b

追问

还有另外的方法吗？？

追答

应该有，不过此题用作商法比较简单

Answer 4

a^2+b^2>=2ab 这是一个常用的不等式，下面要用到
a/b^2+b/a^2=(a^3+b^3)/(a^2b^2)=(a+b)(a^2-ab+b^2)/(a^2+b^2)>=(a+b)ab/(a^2b^2)=(a+b)/(ab)
=1/a+1/b
所以原不等式得证

Answer 5

作差,转化就可以了,需要详细步骤吗

追问

要 谢谢