Question

已知a，b，c是三角形的三边长，求证：b+c分之a + a+c分之b + a+b分之c <2。

Answer 1

证明：因为：两边之和大于第三边
所以：a+b-c>0，则 c(a+b-c)>0
c(a+b-c)+ac+bc-ac-bc>0
2ac+2bc-c(a+b+c)>0
2c(a+b)>c(a+b+c)
2c/(a+b+c)>c/(a+b)
同理可证 2b/(a+b+c)>b/(a+c) 2a/(a+b+c)>a/(b+c)
所以：a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)<2a/(b+c+a)+2b/(b+c+a)+2c/(b+c+a)=2
即：a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)<2

或者：

证明：因为：a，b，c是三角形的三边长
所以：a>0,b>0,c>0
因为：三角形的两边之和大于第三边
所以：a<b+c,则：
a²<a（b+c）===》两边同时乘以a
a²<ab+ac
a²+ab+ac<2ab+2ac===》两边同时加上（ab+ac）
a（a+b+c）<2a（b+c）
a/（b+c）<2a/（a+b+c）(1)===》两边同时除以（a+b+c）（b+c）
同理可证：b/（a+c）<2b/（a+b+c）(2)
c/（a+b）<2c/（a+b+c）(3)
(1)+(2)+(3),得：a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)<2a/(b+c+a)+2b/(b+c+a)+2c/(b+c+a)
即：a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)<2

Answer 2

先证明：0<m<n,p>0.则m/n<(m+p)/(n+p
m/n-(m+p)/(n+p)
=[m(n+p)-n(m+p)]/[n(n+p)]
=(m-n)p/[n(n+p)]
∵0<m<n,p>0,∴m-n<0
∴(m-n)p/[n(n+p)]<0
∴0<m<n,p>0.则m/n<(m+p)/(n+p）
∵a，b，c是三角形的三边长
∴a<b+c, a/(b+c)<2a/(a+b+c) (1)
同理：b/(a+c)<2b/(a+b+c) (2)
c/(a+b)<2c/(a+b+c) (3)
(1)(2)(3)相加：
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)<2(a+b+c)/(a+b+c)=2
即a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)<2