Question

△ABC中,AB=AC,P是BC上的任一点,连接AP。求证:AC2=AP2+CP×BP

Answer 1

设O为BC中点，链接AO
∵AB²=AC²=（BP+PO）²+AO²=（CP-PO）+AO²
∴BP+PO=CP-PO
PO=（CP-BP）/2
又∵AP²=PO²+AO²
∴AC²=【BP+（CP-BP）/2】²+AP²-【（CP-BP）/2】²
AC²=AP²+BP×CP

Answer 2

证明：过点A作AD垂直BC于D
所以角ADB=90度
因为AB=AC
所以：BD=DC
在直角三角形ADB中，由勾股定理得：
AB^2=AD^2+BD^2
在直角三角形ADP中，由勾股定理得：
AP^2=AD^2+PD^2
所以;AB^2=AP^2-PD^2+BD^2=AP^2+(BD+PD)(BD-PD)
因为BP=BD-PD CP=DC+PD=BD+PD
所以：AB^2=AP^2+CP*BP