Question

已知函数f(x)=(ax-1)/e^x，若对任意t∈[1/2,2]，f(t)>t恒成立，求实数a的取值范围?

答案为：a>e^2+(1/2)

Answer 1

f(x)=(ax-1)/e^x，若对任意t∈[1/2,2]，f(t)>t恒成立；即f(x)>x在[1/2,2]上的最小值大于0，
因为：在[1/2,2]上f(x)>x等价于：(ax-1)/e^x>x即：ax-1>xe^x, ax>1+xe^x;a>1/x+e^x
所以只需a>(1/x+e^x)的最大值即可；
因为：由 (1/x+e^x) `=-1/x²+e^x=0得：e^x=1/x²通过图像可以看到次方程有唯一解
x`∈[1/2,2]; 所以x∈[1/2,x`)时，(1/x+e^x) `<0;x∈(x`,2)时，(1/x+e^x) `>0;
即：函数(1/x+e^x) 在[1/2,x `]上是减函数；在[x `,2]上是增函数；
所以x=1/2时，：函数(1/x+e^x)=2+√e; x=2;(1/x +e^x )=1/2+e²>2+√e
所以函数：(1/x+e^x)在[1/2,2]上取到最大值1/2+e²：; 所以a>(1/2+e²)

Answer 2

f(x)=(ax-1)/e^x，若对任意t∈[1/2,2]，f(t)>t恒成立
f(x)-x在[1/2,2]区间单调减，因此只要保证在2时大于0即可。
因此，(a2-1)/e^2>2
通过运算可得a>e^2+(1/2)