Question

如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP和内角∠ABC的平分线BP交于点P。若∠BPC=40°，则∠CAP=（ ）

Answer 1

角CAP=（50）度
解：作角ACB的平分线CO交BP于O,连接AO
所以：角OCB=角OCA=1/2角ACB
因为BP平分角ABC
所以角OBC=1/2角ABC
所以点O是三角形ABC的内心
所以AO平分角BAC
因为CP是角ACD的平分线
所以角ACP=1/2角ACD
因为角ACB+角ACD=180度
所以角OCP=角OCA+角ACP=90度
因为角BPC+角COP+角OCP=180度，角BPC=40度
所以角COP=50度
角BAC=180-(角ABC+角ACB)=180-2(角OBC+角OCB)
因为角COP=角OBC+角OCP
所以角BAC=80度
因为角OAC=1/2角BAC=40度
因为角BPC=40度
所以角BPC=角OAC=40度
所以：A,O,C,P四点共圆
所以角CAP=角COP
因为角COP=50度
所以角CAP=50度

Answer 2

∠PCD=∠PBC+∠BPC=∠PBC+40°；(1)
PB平分∠ABC，得∠PBC=∠ABC/2;
PC平分∠ACD, 得∠PCD=∠ACD/2; 代入（1）得
∠ACD-∠ABC=80°；
在△ABC中，∠BAC=∠ACD-∠ABC=80°; (∠ACD是外角);（2）
过P点作BC、AC、BA的垂线分别交于D、E、F；
由PB平分∠ABC，得PD=PF；
由PC平分∠ACD，得PE=PD；
推得PE=PF，所以PA平分∠CAE；（点到角两边的距离相等，则它与角顶点的连线是角平分线）
即∠CAP=∠CAE/2; (3)
又∠CAE是△ABC的外角，有∠CAE=180-∠BAC；代入（2）得
∠CAE=100°, 代入（3)得：
∠CAP=50°

Answer 3

解：作角ACB的平分线CO交BP于O,连接AO
所以：角OCB=角OCA=1/2角ACB
因为BP平分角ABC
所以角OBC=1/2角ABC
所以点O是三角形ABC的内心
所以AO平分角BAC
因为CP是角ACD的平分线
所以角ACP=1/2角ACD
因为角ACB+角ACD=180度
所以角OCP=角OCA+角ACP=90度
因为角BPC+角COP+角OCP=180度，角BPC=40度
所以角COP=50度
角BAC=180-(角ABC+角ACB)=180-2(角OBC+角OCB)
因为角COP=角OBC+角OCP
所以角BAC=80度
因为角OAC=1/2角BAC=40度
因为角BPC=40度
所以角BPC=角OAC=40度
所以：A,O,C,P四点共圆
所以角CAP=角COP
因为角COP=50度
所以角CAP=50度

Answer 4

解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=（x-40）°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PA，PM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA，
∴∠FAP=∠PAC=50°．
故答案为：50°．

Answer 5

解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=（x-40）°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA=PA，PM=PF，∴Rt△PFA≌Rt△PMA，∴∠FAP=∠PAC=50°．故答案为：50°