Question

如图，在梯形ABCD中，AD平行于BC，角C=90°，E为CD的中点，EF平行于AB于点F,求证：BF=AD+CF

当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时求EF的长

Answer 1

1.证明：
延长FE交AD于G
∵AD//BC
∴∠G=∠EFC，∠GDE=∠C
又∵DE=CE【E为CD的中点】
∴⊿DEG≌⊿CEF（AAS）
∴DG=CF
∵AD//BC，AB//EF
∴四边形ABFG是平行四边形
∴BF=AG
∵AG=AD+DG=AD+CF
∴BF=AD+CF
2.解：
取AB中点H，连接EH
则EH是梯形ABCD的中位线
∴EH=½（AD+BC）=½（1+7）=4
EH//BC
∵EF//AB
∴四边形HBFE是平行四边形
∴BF=HE
∵EF//AB
∴∠BEF=∠ABE
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠EBC
∴∠BEF=∠EBC
∴EF=BF=4

Answer 2

解：∵EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，
∴四边形BGEF是平行四边形，
∵BE平分∠ABC且交CD于E，
∴∠FBE=∠EBC，
∵EF∥BC，
∴∠EBC=∠FEB，
∴∠FBE=FEB，
∴四边形BGEF是菱形，
∵E为CD的中点，EF∥BC，AD=2，BC=12，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF=1/2（AD+BC）=1/2×（2+12）=7，
∴四边形BGEF的周长=4×7=28．

Answer 3

1.证明：
延长FE交AD于G
∵AD//BC
∴∠G=∠EFC，∠GDE=∠C
又∵DE=CE【E为CD的中点】
∴⊿DEG≌⊿CEF（AAS）
∴DG=CF
∵AD//BC，AB//EF
∴四边形ABFG是平行四边形
∴BF=AG
∵AG=AD+DG=AD+CF
∴BF=AD+CF
2.解：
取AB中点H，连接EH
则EH是梯形ABCD的中位线
∴EH=½（AD+BC）=½（1+7）=4
EH//BC
∵EF//AB
∴四边形HBFE是平行四边形
∴BF=HE
∵EF//AB
∴∠BEF=∠ABE
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠EBC
∴∠BEF=∠EBC
∴EF=BF=4