Question

如图,四边形ABCD是边长为a的正方形,点G,E分别是边AB,BC的中点,∠AEF=90°,且EF交交正方形外角的平分线CF于

点F.
（1）证明：∠BAE=∠FEC；
（2）证明：△AGE≌△ECF；
（3）求△AEF的面积．

Answer 1

（1）证明：三角形AGE全等三角形ECF

　 因为G，E为AB，BC　中点

　　所以AG＝CE

　　又因为CF为正方形的外角平分线，所以角FCE＝角AGE

　　因为角EAB＋角AEB＝90度　　角AEB＋角FEC＝90度

　　所以角EAB=角FCE

（2）结合（1）的结论，根据角边角原理证得三角形AGE全等三角形ECF

（3）求三角形AEF的面积。(用含a的式子表示）

有（1）知，AE=EF

AE的平方＝AB的平方＋EB的平方　　即AE＝根号下5／2＊a

　　三角形AEF的面积为1.25a

Answer 2

（1）证明：∵∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°；（1分）
在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC；（3分）
（2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°-45°=135°；
又∵CF是∠DCH的平分线，
∠ECF=90°+45°=135°；（4分）
在△AGE和△ECF中，AG=EC∠AGE=∠ECF=135o∠GAE=∠FEC；
∴△AGE≌△ECF；（6分）
（3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF；
又∵∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；（7分）
∵AB=a，E为BC中点，
∴BE=12BC=12AB=12a，
根据勾股定理得：AE=a2+(12a)2=52a，
∴S△AEF=58a2．（9分）
点评：此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等；综合性较强，难度适中．

Answer 3

数学报上的吧