Question

如图，求证∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F

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Answer 1

连接AB、BC、CD、DE、FA，则六边形ABCDEF为凸六边形，凸六边形的内角和为：
(6-2)180=720
记AD和FB的交点为G、AC和FB的交点为H、AC和BD的交点为I、CE和BD的交点为J、CE和AD的交点为K，则五变形GHIJK为凸五边形。
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=720-(∠FAD+∠BFA+∠CAB+∠ABF+∠DBC+∠ACB+∠ECD+∠BDC+∠ADE+∠CED)
∠FAD+∠BFA=∠FGD
∠CAB+∠ABF=∠AHF
∠DBC+∠ACB=∠AIB
∠ECD+∠BDC=∠CJB
∠ADE+∠CED=∠EKD
∠FGD、∠AHF、∠AIB、∠CJB、∠EKD是凸五边形GHIJK的所有外角，因此：
∠FGD+∠AHF+∠AIB+∠CJB+∠EKD＝360(凸多边形的外角和为360)，所以：
∠FAD+∠BFA+∠CAB+∠ABF+∠DBC+∠ACB+∠ECD+∠BDC+∠ADE+∠CED＝360
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=720－360
即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360