求解一道二重积分题：∫∫e^(x/(x+y))dxdy,积分区域:y>-x+1且y<-x+2在第一象限的部分
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解：做变换，令u=x+y，v=y，则1<u<2，0<v<u
∵αu/αx=1，αu/αy=1，αv/αx=0，αv/αy=1
==>α(u,v)/α(x,y)=1 (α(u,v)/α(x,y)表示雅可比行列式)
∴dxdy=[α(x,y)/α(u,v)]dudv=dudv/[α(u,v)/α(x,y)]=dudv
故 原式=∫<1,2>du∫<0,u>e^((u-v)/u)dv
=e∫<1,2>du∫<0,u>e^(-v/u)dv
=e∫<1,2>{[(-u)e^(-v/u)]│<0,u>}du
=e∫<1,2>(-u)(1/e-1)du
=e(1-1/e)∫<1,2>udu
=(e-1)(u²/2)│<1,2>
=(e-1)(2²/2-1²/2)
=3(e-1)/2。
∵αu/αx=1，αu/αy=1，αv/αx=0，αv/αy=1
==>α(u,v)/α(x,y)=1 (α(u,v)/α(x,y)表示雅可比行列式)
∴dxdy=[α(x,y)/α(u,v)]dudv=dudv/[α(u,v)/α(x,y)]=dudv
故 原式=∫<1,2>du∫<0,u>e^((u-v)/u)dv
=e∫<1,2>du∫<0,u>e^(-v/u)dv
=e∫<1,2>{[(-u)e^(-v/u)]│<0,u>}du
=e∫<1,2>(-u)(1/e-1)du
=e(1-1/e)∫<1,2>udu
=(e-1)(u²/2)│<1,2>
=(e-1)(2²/2-1²/2)
=3(e-1)/2。
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