已知在△ABC中,AD为三角形的角平分线,求证AB/BD=AC/CD
2012-04-05 · 知道合伙人教育行家
sunzhenwei114
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毕业于阜新矿业学院基础部数学师范专业,擅长初高中数学教学,熟练操作excel,信息技术与数学整合是特长。
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过C作CE平行AD交BA所在直线于E,则AB/AE=BD/CD,即AB/BD=AE/CD,再证AE=AC就行,很好证。
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证明:方法一:(面积法)
三角形ABD面积S=(1/2)*AB*AD*sin∠BAD,
三角形ACD面积S=(1/2)*AC*AD*sin∠CAD,
所以三角形ABD面积S:三角形ACD面积S=AB:AC
又三角形ABD和三角形ACD是等高三角形,面积的比等于底的比,
即三角形ABD面积S:三角形ACD面积S=BD:CD
所以AB/AC=DB/CD ,
即AB/BD=AC/CD
方法二(相似形)
过C作CN平行于AB交AM的延长线于N
三角形ABM相似三角形NCM,
AB/NC=BM/CM,
又可证明∠CAN=∠ANC
所以AC=CN,
所以AB/AC=MB/MC
方法三(相似形)
过M作MN平行于AB交AC于N
三角形ABC相似三角形NMC,
AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC
又可证明∠CAM=∠AMN
所以AN=MN,
所以AB/AC=AN/NC
所以AB/AC=MB/MC
方法四(正弦定理)
作三角形的外接圆,AM交圆于D,
由正弦定理,得,
AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,
AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM
又∠BAM=∠CAM,∠BMA+∠AMC=180
sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC,
所以AB/AC=MB/MD
三角形ABD面积S=(1/2)*AB*AD*sin∠BAD,
三角形ACD面积S=(1/2)*AC*AD*sin∠CAD,
所以三角形ABD面积S:三角形ACD面积S=AB:AC
又三角形ABD和三角形ACD是等高三角形,面积的比等于底的比,
即三角形ABD面积S:三角形ACD面积S=BD:CD
所以AB/AC=DB/CD ,
即AB/BD=AC/CD
方法二(相似形)
过C作CN平行于AB交AM的延长线于N
三角形ABM相似三角形NCM,
AB/NC=BM/CM,
又可证明∠CAN=∠ANC
所以AC=CN,
所以AB/AC=MB/MC
方法三(相似形)
过M作MN平行于AB交AC于N
三角形ABC相似三角形NMC,
AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC
又可证明∠CAM=∠AMN
所以AN=MN,
所以AB/AC=AN/NC
所以AB/AC=MB/MC
方法四(正弦定理)
作三角形的外接圆,AM交圆于D,
由正弦定理,得,
AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,
AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM
又∠BAM=∠CAM,∠BMA+∠AMC=180
sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC,
所以AB/AC=MB/MD
参考资料: http://hi.baidu.com/%CC%D5%D3%C0%C7%E5/blog/item/eaf077fbddfd49829f514657.html
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