Question

已知函数f(x)=x|x-4|,x∈[0,m],其中m∈R且m>0.

①如果函数f(x)的值域是[0,4],求m的取值范围。
②如果函数f(x)的值域是[0,入m^2],试求实数入得最小值。

Answer 1

解:

①当0<m≤4时.

f(x)=x(4-x)=-x²+4x=-(x-2)²+4

∵x∈[0,m],且0<m≤4,显然值域是[0,4]

当m＞4时,

f(x)=x²-4x=(x-2)²-4

令0≤(x-2)²-4≤4

即4≤(x-2)²≤8

解得:2-2√2≤x≤0或4≤x≤2+2√2

∵x≥0

∴4≤x≤2+2√2

综上所述,m∈[0,2+2√2]

②0<m<2时,

f(x)max=f(m)=m|m-4|=-m²+4m=λm²

化简得,(λ+1)m²-4m=0,λ=4/m - 1∈(2,﹢∞) ,由于是开区间,λ无穷接近2却不等于2.故此时无最小值

2≤m≤2+2√2时,

f(x)max=f(2)=f(2+2√2)=4=λm²

λ=4/m²∈[1/(12+8√2),1]  (2)

m>2+2√2时,f(x)=﹢∞

综上所述,λmin=1/(12+8√2)

Answer 2

①m≤4时，函数f(x)=x|x-4|=-x^2+4x=-(x-2)^2+4
2≤m≤4时，值域是[0,4]，m<2时不符合题意，当m>4时，显然成立
所以如果函数f(x)的值域是[0,4],则m≥2
②当m≤2时，f(x)=-(x-2)^2+4在[0,m]是增函数，所以值域为[0,-m^2+4m]，则-m^2+4m= 入m^2
得入=-1+4/m∈[2,+∞)
2≤m≤4时函数f(x)的值域是[0,4],则4=入m^2，即入=4/m^2∈[1/4,1]
当m>4时f(x)是分段函数，0≤x≤4时f(x)=-x^2+4x∈[0,4]；4≤x≤m时f(x)=x^2-4x∈[0,m^2-4m]；
4≤m≤2+√2时，m^2-4m≤4，f(x)值域为[0,4],则4=入m^2，即入=4/m^2∈[2/(3+2√2)，1/4]；
m≥2+√2时m^2-4m≥4，f(x)值域为[0,m^2-4m]，则m^2-4m=入m^2，入=1-4/m∈(0，4/(2+√2)]
综上可得入∈[2,+∞)∪[1/4,1]∪[2/(3+2√2)，1/4]∪(0，4/(2+√2)]=(0，4/(2+√2)]∪[2,+∞)
所以入无最小值