Question

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，a1=1，且3a（n+1）+2Sn=3（n为正整数）。（1）求数列｛an｝的通项公式

（2）记S为大于任意Sn的最小的数，若对任意正整数n，kS≤Sn恒成立，求实数k的最大值 请有才之人写出具体的步骤，我要最具体的步骤，本人不胜感激！！！辛苦啦！！！ 急啊！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

∵3a（n+1）+2Sn=3
∴3[S(n+1)-Sn]+2Sn=3
∴3S(n+1)=Sn+3
∴3[S(n+1)-3/2]=Sn-3/2
∴[S(n+1)-3/2]/(Sn-3/2)=1/3
∴{Sn-3/2}为等比数列，公比为1/3
Sn-3/2=(1-3/2)*(1/3)^(n-1)
∴Sn=3/2-1/2*(1/3)^(n-1)
n≥2时，an=Sn-S(n-1)
=-1/2*(1/3)^(n-1)+1/2*(1/3)^(n-2)
=1/3^(n-1)
∴数列｛an｝的通项公式为
an=1/3^(n-1)
2
Sn=3/2-1/2*(1/3)^(n-1)
∵0<1/3<1 ∴(1/3)^(n-1) 递减
∴3/2-1/2*(1/3)^(n-1)递增
∴Sn≥S1=1
∵1/2*(1/3)^(n-1)>0
∴3/2-1/2*(1/3)^(n-1)<3/2
∴1≤Sn<3/2
∵S为大于任意Sn的最小的数
∴S=3/2
kS≤Sn恒成立,即3/2 k≤Sn恒成立
∵1≤Sn<3/2 ∴3/2 k≤1
∴k≤2/3
即 求实数k的最大值为2/3

Answer 2

1、3a（n+1）+2Sn=3
3an+2（Sn-1）=3
两式子相减可得3a（n+1）-3an+2an=0
3a（n+1)=an
所以数列为等比数列q=1/3
an=(1/3)^(n-1)
2、Sn=（1-1/3^n)/(1-1/3)=1.5-0.5(1/3)^(n-1)
因为Sn最大为1.5，最小为1，所以S=1.5
1.5k≤Sn恒成立
那么k<=2/3
所以k最大值为2/3

Answer 3

由已知Sn=(3/2)[1-a(n+1)]
S(n-1)=(3/2)[1-an]
所以an=Sn-S(n-1)=(3/2)[an-a(n+1)]
a(n+1)=(1/3)an
所以{an}是公比为1/3的等比数列
已知a1=1
所以通项公式an=(1/3)^(n-1)
Sn=(1-1/3^n)/(1-1/3)=3/2-(3/2)*(1/3^n)
S=3/2
对任意n，有ks=3k/2≤3/2-(3/2)*(1/3^n)恒成立
只需n=1成立即可，则3k/2≤1
于是k≤2/3
所以k的最大值为2/3