Question

在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝根号3a,当c＝1，且三角形ABC的面积为四分之一...

在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝根号3a,当c＝1，且三角形ABC的面积为四分之一根号3时，求a的值。急！

Answer 1

∵SΔABC=1/2 absinC=√3/4
c=1,b=√3a
∴ a² sinC=1/2,sinC=1/(2a²) (1)
余弦定理：
c^2=a^2+b^2-2abcosC
1=4a²-2√3a²cosC
cosC=(4a²-1)/(2√3a²) (2)
(1)²+(2)²:
1=1/(4a⁴)+[(4a²-1)/(2√3a²) ]²
解得：a=1

Answer 2

做CD⊥AB于D。
首先算出CD=1/2（用面积算）
AD=√（AC²-CD²）=√（3a²-1/4），
BD=√（BC²-CD²）=√（a²-1/4），
AD+BD=√（3a²-1/4)+√（a²-1/4）=1，
解得a =1

Answer 3

b=√3a
(1)余弦定理
c²=a²+b²-2abcosC
1=4a²-2√3a²cosC
cosC=(4a²-1)/(2√3a²)
(2)SΔABC=(1/2) absinC=√3/4
c=1,b=√3a
∴ a²sinC=1/2,
sinC=1/(2a²)
sin²C+cos²C=1
解得：a=1

Answer 4

二楼的思路正确，简单说就是利用S=1/2absinC得到a²sinC=k1,
再利用余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC得到a²cosC=k2,
考虑到sin²C+cos²C=1想到以上两式平方相加，就可以求得a

Answer 5

用三角公式求解