Question

在三角形ABC中，角BAC=45度，AD垂直BC于D点，已知BD=6，CD=4，那么高AD的长是多少？

哪位聪明的朋友帮忙做一下…

Answer 1

AB＾2＝BD＾2＋AD＾2，AC＾2＝CD＾2＋AD＾2．

BC＾2＝AC＾2＋AB＾2－2AB＊AC＊COS45°.

2AB＊AC＊COS45°＝AC＾2＋AB＾2－BC＾2

=BD＾2＋2AD＾2+AC＾2-BC＾2=6²+4²-10²+2AD^2.

又2AB＊AC＊COS45°＝2AB＊AC＊SIN45°=2BC*AD(三角形面积公式）

2BC*AD=6²+4²-10²+2AD^2，解得AD＝12.

Answer 2

设AD长x。
依题意列方程：x/6=tg角B
x/4=tg角C=tg(180度-45度-角B）=tg(135度-角B）=（tg135度-tg角B）/(1+tg135度×tg角B)=（-1-tg角B）/（1-tg角B） 注：tg135度=-1
把tg角B=x/6带入
则x/4=(-1-x/6)/(1-x/6)
化简为x²-10x-24=0
用求根公式得到显x1=12,x2=-2
明显x2舍去，AD长是12.

Answer 3

将三角形ABD以AB为轴翻折形成三角形ABP
将三角形ADC以AC为轴翻折形成三角形AMC
所以角PAM=2倍的角BAC=90度
AP=PD=AM，角P=角M=90度
延长MC,PB交于N
则角N=90度
所以APNM为矩形
又因为AM=AP
所以APNM为正方形
设正方形边长（即AD的长）为x
BN=NP-BP=x-2
CN=NM-CM=x-3
BC=BD+CD=5
在直角三角形BCN中，BN^2+CN^2=BC^2
所以有
(x-2)^2+(x-3)^2=25
2x^2-10x+13-25=0
x^2-5x-6=0
(x-6)(x+1)=0
x1=6,x2=-1
因为x大于0
所以x=6
所以AD=x=6