Question

已知曲线y=ax三次方+bx方+cx+d满足下列条件 1、过原点 2、在x=0处导数为-1 3、在x=1处切线方程为y=4x-3

1、求实数a,b,c,d的值 2、求函数y=ax方+bx+cx+d的极值

Answer 1

y = ax³ + bx² + cx + d
过原点，d = 0
y' = 3ax² + 2bx + c
y'(0) = -1，c = -1
切线斜率为4，即y'(1) = 4
4 = 3a + 2b - 1
==> 3a + 2b = 5 ...★
对于y = 4x - 3，当x = 1，y = 1，切点为(1，1)，代入曲线
1 = a + b - 1
==> a + b = 2 ...☆
联立★☆得a = 1，b = 1
所以y = x³ + x² - x
y' = 3x² + 2x - 1
y'' = 6x + 2
y' = 0 ==> x = -1 或 x = 1/3
y''(-1) = 6(-1) + 2 < 0，取得极大值，y(-1) = 1
y''(1/3) = 6(1/3) + 2 > 0，取得极小值，y(1/3) = -5/27
所以极小值 = -5/27，极大值 = 1

追问

y = ax³ + bx² + cx + d ，过原点，d = 0 为什么
y' = 3ax² + 2bx + c ，y'(0) = -1，c = -1 为什么
切点为(1，1)，代入曲线
1 = a + b - 1 带到哪个曲线 怎么来的

追答

y = ax² + bx² + cx + d，过原点(0，0)，代入
0 = 0 + 0 + 0 + d ==> d = 0
y' = 3ax² + 2bx + c
y'(0) = 3a(0) + 2b(0) + c = -1 ==> c = -1
难道会有其他曲线么- -当然代入曲线y = ax² + bx² + cx + d
y = 4x - 3是直线呀- -

追问

加个扣扣吧 你的

追答

还有啥问题呢，我碰巧会做这题的，并不是你所有的问题我都会呀，用百度HI吧

追问

y' = 0 ==> x = -1 或 x = 1/3
怎么来的 又怎么知道y'=0的

追答

曲线的极值，斜率等于0
曲线在x = x0处的导数就是点x = x0处的切线斜率
所以令曲线导数y' = 0就能找到极值，书里一定会讲到的
例如曲线在x = 0处的导数为-1，即在点(0，f(0))的切线斜率就是-1

追问

那令y'=0 怎么求出来x=-1或1/3的

追答

解二次方程而已
y' = 0
3x² + 2x - 1 = 0
这个会解吧？x = [- b ± √(b² - 4ac)]/(2a)就行了

追问

y(-1) = 1
y(1/3) = -5/27
带入那个里面啊

追答

既然找出了a，b，c，d，代入原方程就可以了
y = x³ + x² - x
y(-1) = (-1)³ + (-1)² - (-1) = -1 + 1 + 1 = 1
y(1/3) = (1/3)³ + (1/3)² - (1/3) = 1/27 + 1/9 - 1/3 = -5/27

注意求导步骤：
y' = 0只是找出极值点的x值，例如找出x = x0，并不能判断f(x0)是极小值或极大值
需要将邻近的x值代入y'中，若y'在x0左边和右边的正负号不一样，则有极值
由y' 0，则是极小值，由y' > 0 到 y' 0就取得极小值，y''(x0) < 0就取得极大值，我做你这题就是这个方法，特别适用于比较简单的函数，例如多项式。较复杂的就用一阶导数测试邻近的值比较好。

Answer 2

你好，这个问题哪里有疑问呢

追问

不会写啊

追答

我把思路跟你说一下先：
过原点，就是x=0，y=0
在x=0处导数为-1,3，就是导函数x=-1和3时为0
在x=1处的切线方程为y=4x-3，就是过（1,1）这个点，且导函数在x=1时为4

你先写写看，有疑问继续追问好么？

Answer 3

这是最简单的题啊，同学怀疑你上课听不听讲啊。。

追问

加个扣扣 你的

追答

你有没有王后雄学案？去看看例题就行了。这种题很经典，是基础，一定要会。我不想算了，对不起啊。