Question

高等数学证明题

试证：存在一条定直线l，使曲面z=x+f(y-z)上任一点处的切平面都与之平行，其中f连续可导

Answer 1

分析：只需要找到一个固定方向，使得该固定方向与曲面上任意点出的法向量垂直即可，
则得到的固定方向是所求直线的方向，再在曲面上求的该方向的直线即可。

证明：曲面的法向量为N=（1，f '(y-z)，-1-f '(y-z)），
令y=z,则N=（1，f '(0)，-1-f '(0)）为常向量，
又当将y=z，x=x带入原曲面方程时得到直线方程，
x=x，y=x+f(0)，y=x+f(0)，其中x是参数
从而沿着直线l的方向向量是a=（1,1,1），
显然，对于曲面上任意一点处的法向量N与直线l的方向向量a是垂直的
故直线l满足：曲面z=x+f(y-z)上任一点处的切平面都与之平行，
因此直线l为所求的定直线.

Answer 2

哈哈~不会~数三的，可不好意思~

Answer 3

f((a+b)/2)分别在a,b点展开成二阶级数，相减即得。
其中用到了达布定理(即导数的介质定理)