Question

如图在矩形ABCD中AD=4 AB=m (m大于4) 点P式AB上的任意一点(不与点A点B重合)连接PD

如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；（2）连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）

Answer 1

（1）先设q与c重合是可能的
那么pd垂直pc，可以通过角度证明三角形APD相似于三角形BCP
设AP=X，则BP=m-X，AD=BC=4，
由于相似，所以比例可得 AD：AP=PB：BC
带入数据得4：X=（m-X）：4
化简得X^2-mX+16=0，验证有无实根时要算delta=b^2-4ac=m^2-64，
就是说m>8时，这个方程有两个不同根，存在两个满足的点；
m=8时，是两个一样的重跟就只存在一个，（当然很明显就是AB中点）
m<8时就不存在这样的点
现已知m=10，首先是存在两个这样的点，
将其带入方程，解出X=2或者8，即AP=2或8

（2）同样是比例解题
由于平行，自己倒角度可得，ADC相似于QBP相似于PAD，
DC：AD=AD：AP，带入得AP=m分之16，
则PB=m-AP
同理AD：AP=PB：BQ，带入得4-‘m的平方’分之64
也就是4-（64/m^2）

此题的突破口就是长方形内部间的角度计算
希望有所帮助！

Answer 2

5