求Z的平方的三重积分,闭区域为Z=X2+Y2与Z=4所围的闭区域
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解：∵闭区域为z=x²+y²与z=4所围的闭区域在xy平面上的投影是S：x²+y²=4
∴所求积分=∫<0,2π>dθ∫<0,2>rdr∫<r²,4>z²dz (作柱面坐标变换)
=2π∫<0,2>r[4³-(r²)³]/3dr
=(2π/3)∫<0,2>(64r-r^7)dr
=(2π/3)(32r²-r^8/8)│<0,2>
=(2π/3)(128-32)
=64π。
∴所求积分=∫<0,2π>dθ∫<0,2>rdr∫<r²,4>z²dz (作柱面坐标变换)
=2π∫<0,2>r[4³-(r²)³]/3dr
=(2π/3)∫<0,2>(64r-r^7)dr
=(2π/3)(32r²-r^8/8)│<0,2>
=(2π/3)(128-32)
=64π。
追问
用直角坐标系怎么做
追答
用直角坐标系求解很麻烦，我只给你立出算式。
所求积分=∫dx∫dy∫z²dz
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