Question

如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°，以AC为直径作圆O，交AB于D点，过点O作OE∥AB,交BC于E.

(1)求证：ED为圆O的切线;
（2）若圆O的半径为3,ED=4,设EO的延长线交圆O于F，连接DF.AF,求△ADF的面积.

Answer 1

分析：（1）连接OD，利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，得到∠HOD=2∠A，然后用等量代换得到∠ODE=90°，证明DE是⊙O的切线．
（2）利用（1）的结论有∠ODE=90°，又已知∠OBE=90°，证明△BOE≌△DOE，得到∠BOE=∠A，所以OE∥AD，得到点E是BC的中点，可以证明OE是△ABC的中位线．
解：（1）连接OD，
则∠HOD=2∠A，
已知∠HDE=2∠A，
则∠HOD=∠HDE，
∵HD⊥AB，
∴∠HOD+∠HDO=90°，
∴∠HDE+∠HDO=90°，
即OD⊥DE，
又OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∵DE是⊙O的切线，∠ABC=90°，
∴∠OBE=∠ODE=90°，
又OB=OD，OE=OE，
∴Rt△BOE≌Rt△DOE，
∴∠BOE=∠DOE，
∴∠HOD=∠BOE+∠DOE=2∠BOE，
又∠HOD=2∠A，
∴∠BOE=∠A，
∴OE∥AD，
而O是AB的中点，
故OE是△ABC的中位线．点评：本题考查的是切线的判定，（1）利用同弧所对的圆周角和圆心角的关系，以及等量代换求出∠ODE的度数，证明DE是⊙O的切线．（2）利用（1）的结论证明两三角形全等，得到相等的角度，再用同位角相等两直线平行和三角形中位线的性质证明OE是△ABC的中位线．我做过，望采纳！

Answer 2

1)∵AC为圆O直径
∴AB⊥CD，
又O为AC中点，OE∥AB
∴E为BC中点
在Rt△BCD中，DE=CE
又OC=OD，OE=OE
∴△OCE≌△ODE
∴DE⊥DC
∴ED为圆O的切线
2）过O做AB垂线交AB于M，过F做AN垂线交AB于N
则OM∥FN
又OF∥MN，∠OMN=90°
∴四边形OMNF为矩形
∴FN=OM
根据三角关系（△ABC为特殊三角形，边长为6,8,10）
OM=0.8XAO=2.4
AD=0.6XAC=3.6
所以S△ADF =1/2XADXOM